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Un objectif essentiel au cours de mathématiques du cycle inférieur : passer du nombre à la lettre

La différence entre l’enseignement des mathématiques à l’école primaire et au cycle inférieur de l’enseignement secondaire et secondaire technique est le passage du nombre à la lettre.

Ce passage du numérique au littéral est d’autant plus important que la maîtrise du calcul algébrique est l’une condition nécessaire (pas suffisante d’ailleurs) pour un accès à des études scientifiques.

Il faut que le calcul littéral prenne sa place à côté ( et aussi en complément essentiel ) du calcul numérique, de l’utilisation de figures et de représentations graphiques.

Il faudra mettre en place un certaine progression dans cette approche du calcul littéral

  • par la modélisation, en proposant des situation qui permettent l’initiation à l’usage des lettres, en particuliers dans le cas de l’élaboration et de l’utilisation de formules
  • par la résolution de problèmes, en mettant en place des méthodes algébriques
  • par l’argumentation, en initiant les élèves au raisonnement à l’aide de lettres et à la démonstration structurée.

Dans ce contexte, la lettre change de statut.

Alors qu’à l’école fondamentale elle était souvent utilisé comme abréviation  (donc dans la formule A =  L x l, les lettres sont utilisées pour rappeler aux élèves que l’aire est le produit de la longueur par la largeur), au secondaire la formule A=Lxl identifie la lettre comme variable. Les lettre L et l deviennent des containers qui, selon les nombres attribués  à L et l changent la valeur attribuée à la lettre/variable A. Ici aussi il convient d’initier les élèves aux notions de variables dépendantes et indépendantes.

Le passage inductif du nombre à la lettre permet de modéliser (généraliser) un calcul, une réflexion, un résultat.L’utilisation en cours de mathématiques d’un tableur peut permettre une acquisition et un approfondissement de la notion de variable puisqu’il permet de distinguer adresses des cellules qui sont prises en compte et non leurs contenus du moment les adresses des cellules (variable) et leur contenu momentané (valeur de la variable)

 

la lettre en cours de mathématiques

Dans le registre de l’argumentation, la lettre devient indéterminée c.à.d. elle ne représente plus une valeurs particulière, mais elle tient lieu et place pour un ensemble de nombres qui vérifient une certaine propriété. Ainsi la formulation de la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition se fait sous la forme  a ( x + y ) = a x + a y où les lettres a, x et y représentent des nombres.

En ce qui concern la résolution de problèmes, l’approche littérale donne le statut d’inconnue à la lettre. Résoudre une équation, c’est trouver toutes les valeurs qui, substituées à l’inconnue, donnent une égalité vraie. La notion de solution d’une équation, pour être comprise, nécessite une remise en cause du statut du signe d’égalité. (Une remise en question du signe d’égalité sera traitée dans un prochain post(lien)) La compréhension de ce qu’est une solution d’une équation en recourant à des tests de la valeur de vérité de l’égalité (aussi à l’aide d’un tableur) est un préalable à l’apprentissage de techniques de résolution d’une équation.

La mise en place de la notion de paramètre en tant que fonction de la lettre est plus complexe, plus subtile aussi, mais extrêmement importante pour tout apprentissage scientifique. Il s’agit de comprendre qu’un lettre tout en n’étant pas déterminée précisément, peut avoir le statut d’une valeur supposée connue par rapport à d’autres lettres.

Par exemple dans le cas de la définition du polynôme P défini par P(x) = a x² + bx + c où la lettre x désigne une variable (réelle, donc une valeur possible dans ℜ) et les lettres a,b et c désignent des paramètres qui sont fixés, mais pas connues précisément pour chaque polynôme. Il faut cependant noter que mis à part les polynômes la notion de paramètre ne surgit que peu dans les programmes du cycle inférieur.

Un futur post analysera en detail le statut du signe égal qui lui aussi développe en relation avec l’usage de la lettre.